తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క ఫండమెంటల్స్ మరియు లాస్
19వ శతాబ్దం మధ్యలో ఐరిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జార్జ్ బుల్ తర్కం యొక్క బీజగణితాన్ని అభివృద్ధి చేసింది ("ఆలోచన యొక్క చట్టాల అధ్యయనం"). అందుకే తర్కం యొక్క బీజగణితాన్ని కూడా అంటారు బూలియన్ బీజగణితం.
అక్షర హోదాలను ఇవ్వడం ద్వారా, చర్య చిహ్నాలలో తార్కిక పరివర్తనల కార్యకలాపాలను వ్యక్తీకరించడం మరియు ఈ చర్యల కోసం ఏర్పాటు చేయబడిన నియమాలు మరియు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించడం ద్వారా, లాజిక్ యొక్క బీజగణితం స్టేట్మెంట్ లాజిక్ పరంగా ఇచ్చిన సమస్యను పరిష్కరించడంలో తార్కిక ప్రక్రియను అల్గారిథమ్లలో పూర్తిగా వివరించడానికి అనుమతిస్తుంది. , అంటే, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి గణితశాస్త్రపరంగా వ్రాసిన ప్రోగ్రామ్ను కలిగి ఉండటం.
స్టేట్మెంట్ల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధాన్ని సూచించడానికి (అంటే, స్టేట్మెంట్లను మూల్యాంకనం చేయడానికి విలువలను పరిచయం చేయడానికి), తర్కం యొక్క బీజగణితం బైనరీ సిస్టమ్ను ఉపయోగిస్తుంది, ఈ సందర్భంలో సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ప్రకటన నిజమైతే, అది విలువ 1ని తీసుకుంటుంది, అది తప్పు అయితే, అది విలువ 0ని తీసుకుంటుంది. బైనరీ సంఖ్యల వలె కాకుండా, లాజికల్ 1లు మరియు 0లు ఒక పరిమాణాన్ని వ్యక్తపరచవు, కానీ స్థితిని వ్యక్తం చేస్తాయి.
కాబట్టి, బూలియన్ బీజగణితాన్ని ఉపయోగించి వివరించిన ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్లలో, 1 అనేది వోల్టేజ్ ఉనికిని మరియు 0 దాని లేకపోవడం, అనేక మూలాల నుండి సర్క్యూట్ యొక్క ఒక నోడ్కు వోల్టేజ్ల సరఫరా (అంటే, దానిలోని అనేక లాజికల్ యూనిట్ల రాక) నోడ్ వద్ద ఉన్న మొత్తం వోల్టేజీని సూచించకుండా, దాని ఉనికిని మాత్రమే సూచించే లాజికల్ యూనిట్గా కూడా చూపుతుంది.
లాజిక్ సర్క్యూట్ల ఇన్పుట్ మరియు అవుట్పుట్ సిగ్నల్లను వివరించేటప్పుడు, లాజికల్ 0 లేదా 1 విలువలను మాత్రమే తీసుకునే వేరియబుల్స్ ఉపయోగించబడతాయి. ఇన్పుట్పై అవుట్పుట్ సిగ్నల్ల ఆధారపడటం నిర్ణయించబడుతుంది. లాజికల్ ఆపరేషన్ (ఫంక్షన్)… ఇన్పుట్ వేరియబుల్స్ను X1 మరియు X2 ద్వారా మరియు వాటిపై లాజికల్ ఆపరేషన్ ద్వారా y ద్వారా పొందిన అవుట్పుట్ని సూచిస్తాము.
ఒక్కసారి ఆలోచించండి మూడు ప్రాథమిక ప్రాథమిక తార్కిక కార్యకలాపాలు, దీని సహాయంతో సంక్లిష్టమైన వాటిని వివరించవచ్చు.
1. OR ఆపరేషన్ — లాజికల్ అదనంగా:
వేరియబుల్స్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలను బట్టి, అవుట్పుట్లో ఒకదాన్ని ఉత్పత్తి చేయడానికి ఇన్పుట్లో కనీసం ఒక యూనిట్ యొక్క సమృద్ధిగా OR ఆపరేషన్ను నిర్వచించవచ్చు. "OR ఒక ఇన్పుట్ లేదా రెండవది ఒకటి అయితే, అవుట్పుట్ ఒకటి."
2. ఆపరేషన్ మరియు — తార్కిక గుణకారం:
వేరియబుల్స్ యొక్క పూర్తి విలువల సెట్ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం నుండి, అవుట్పుట్లో ఒకదాన్ని పొందడానికి ఇన్పుట్లలోని అన్ని వాటిని సరిపోల్చాల్సిన అవసరంగా AND ఆపరేషన్ నిర్వచించబడింది: “AND ఒక ఇన్పుట్ మరియు రెండవది ఒకటి అయితే, అప్పుడు అవుట్పుట్ ఒకటి. «
3. ఆపరేషన్ కాదు — లాజికల్ నెగేషన్ లేదా ఇన్వర్షన్. ఇది వేరియబుల్ పైన ఉన్న బార్ ద్వారా సూచించబడుతుంది.
రివర్స్ చేసినప్పుడు, వేరియబుల్ విలువ రివర్స్ అవుతుంది.
తార్కిక బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలు:
1. జీరో సెట్ యొక్క చట్టం: ఇతర వేరియబుల్స్ విలువలతో సంబంధం లేకుండా, ఏదైనా వేరియబుల్స్ సున్నా అయితే, ఎన్ని వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి అదృశ్యమవుతుంది:
2. సార్వత్రిక సమితి యొక్క చట్టం — ఇతర వేరియబుల్స్తో సంబంధం లేకుండా కనీసం వేరియబుల్స్లో ఒకదానికి విలువ ఒకటి ఉంటే ఎన్ని వేరియబుల్స్ మొత్తం ఒకటి అవుతుంది:
3. పునరావృత చట్టం — వ్యక్తీకరణలో పునరావృత వేరియబుల్స్ విస్మరించబడతాయి (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బూలియన్ బీజగణితంలో సంఖ్యా గుణకం ద్వారా ఘాతాంకం మరియు గుణకారం లేదు):
4. డబుల్ ఇన్వర్షన్ చట్టం - రెండుసార్లు చేసిన విలోమం ఖాళీ ఆపరేషన్:
5. పరిపూరకరమైన చట్టం - ప్రతి వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పత్తి మరియు దాని విలోమం సున్నా:
6. ప్రతి వేరియబుల్ మొత్తం మరియు దాని పరస్పరం ఒకటి:
7. రక్షణ చట్టాలు - గుణకారం మరియు సంకలన ఆపరేషన్ల ఫలితం వేరియబుల్స్ అనుసరించే క్రమం మీద ఆధారపడి ఉండదు:
8. సంయుక్త చట్టాలు - గుణకారం మరియు కూడిక కార్యకలాపాల సమయంలో, వేరియబుల్స్ ఏ క్రమంలోనైనా సమూహం చేయబడతాయి:
9. పంపిణీ చట్టాలు - బ్రాకెట్ల వెలుపల మొత్తం గుణకం ఉంచడానికి ఇది అనుమతించబడుతుంది:
10. శోషణ చట్టాలు — అన్ని కారకాలు మరియు నిబంధనలలో వేరియబుల్తో కూడిన వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మార్గాలను సూచించండి:
11. డి మోర్గాన్ చట్టాలు - ఉత్పత్తి యొక్క విలోమం అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క విలోమాల మొత్తం:
మొత్తం యొక్క విలోమం అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క విలోమాల యొక్క ఉత్పత్తి:
