వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క ప్రవాహం మరియు ప్రసరణ

N రిచర్డ్ ఫేన్మాన్ యొక్క ఉపన్యాస సామగ్రి ఆధారంగా

వెక్టర్ ఫీల్డ్‌ల పరంగా విద్యుత్ నియమాలను వివరించేటప్పుడు, వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క రెండు గణితశాస్త్ర ముఖ్యమైన లక్షణాలను మనం ఎదుర్కొంటాము: ఫ్లక్స్ మరియు సర్క్యులేషన్. ఈ గణిత భావనలు ఏమిటో మరియు వాటి ఆచరణాత్మక అర్థం ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడం మంచిది.

ప్రశ్న యొక్క రెండవ భాగం వెంటనే సమాధానం ఇవ్వడం సులభం, ఎందుకంటే ప్రవాహం మరియు ప్రసరణ భావనలు హృదయంలో ఉన్నాయి మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు, ఇది అన్ని ఆధునిక ఎలక్ట్రోడైనమిక్స్ వాస్తవానికి ఆధారపడి ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ యొక్క నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: ఒక క్లోజ్డ్ లూప్ C వెంట ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ E యొక్క ప్రసరణ, దీని ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న S ఉపరితలం ద్వారా అయస్కాంత క్షేత్రం B యొక్క ఫ్లక్స్ యొక్క మార్పు రేటుకు సమానం. లూప్ బి.

కింది వాటిలో, మేము చాలా సరళంగా వివరిస్తాము, స్పష్టమైన ద్రవ ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, ఫీల్డ్ లక్షణాలు గణితశాస్త్రపరంగా ఎలా నిర్ణయించబడతాయి, ఈ ఫీల్డ్ లక్షణాలు తీసుకోబడ్డాయి మరియు పొందబడతాయి.

వెక్టర్ ఫీల్డ్ ఫ్లక్స్

ప్రారంభించడానికి, అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రాంతం చుట్టూ పూర్తిగా ఏకపక్ష ఆకారం యొక్క నిర్దిష్ట మూసివేసిన ఉపరితలాన్ని గీయండి. ఈ ఉపరితలాన్ని వర్ణించిన తర్వాత, మేము ఫీల్డ్ అని పిలిచే అధ్యయన వస్తువు ఈ మూసి ఉన్న ఉపరితలం గుండా ప్రవహిస్తుందా అని అడుగుతాము. దీని గురించి అర్థం చేసుకోవడానికి, ఒక సాధారణ ద్రవ ఉదాహరణను పరిగణించండి.

మేము నిర్దిష్ట ద్రవం యొక్క వేగ క్షేత్రాన్ని పరిశోధిస్తున్నామని చెప్పండి. అటువంటి ఉదాహరణ కోసం, ఇది అడగడానికి అర్ధమే: ఈ ఉపరితలంతో పరిమితం చేయబడిన వాల్యూమ్‌లోకి ప్రవహించే దానికంటే ఎక్కువ ద్రవం యూనిట్ సమయానికి ఈ ఉపరితలం గుండా వెళుతుందా? మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అవుట్‌ఫ్లో రేటు ఎల్లప్పుడూ ప్రధానంగా లోపలి నుండి నిర్దేశించబడుతుందా?

"వెక్టార్ ఫీల్డ్ ఫ్లక్స్" అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా (మరియు మా ఉదాహరణకి "ఫ్లూయిడ్ వెలాసిటీ ఫ్లక్స్" అనే వ్యక్తీకరణ మరింత ఖచ్చితమైనదిగా ఉంటుంది), ఇవ్వబడిన పరిగణిత వాల్యూమ్ యొక్క ఉపరితలం గుండా ప్రవహించే మొత్తం ఊహాజనిత ద్రవం యొక్క పేరును మేము అంగీకరిస్తాము. క్లోజ్డ్ ఉపరితలం (ద్రవం ప్రవాహం రేటు కోసం, యూనిట్ సమయానికి వాల్యూమ్ నుండి ఎంత ద్రవం అనుసరిస్తుంది).

ఫలితంగా, ఉపరితల మూలకం ద్వారా ఫ్లక్స్ వేగం యొక్క లంబ భాగం ద్వారా ఉపరితల మూలకం యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం ఉపరితలం అంతటా ఉన్న మొత్తం (మొత్తం) ఫ్లక్స్ వేగం యొక్క సగటు సాధారణ భాగం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం ద్వారా మనం లోపల నుండి లెక్కించబడుతుంది.

ఇప్పుడు తిరిగి విద్యుత్ క్షేత్రానికి. ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్, వాస్తవానికి, కొంత ద్రవ ప్రవాహం యొక్క వేగంగా పరిగణించబడదు, అయితే ద్రవం యొక్క వేగం యొక్క ప్రవాహంగా మనం పైన వివరించిన మాదిరిగానే ప్రవాహం యొక్క గణిత భావనను పరిచయం చేయడానికి మాకు అర్హత ఉంది.

ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ విషయంలో మాత్రమే, దాని ఫ్లక్స్ ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ బలం E యొక్క సగటు సాధారణ భాగం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అదనంగా, ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ యొక్క ఫ్లక్స్ తప్పనిసరిగా మూసివున్న ఉపరితలం ద్వారా కాకుండా ఏదైనా సరిహద్దు ఉపరితలం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. నాన్ జీరో ప్రాంతం S.

వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క సర్క్యులేషన్

ఎక్కువ స్పష్టత కోసం, ఫీల్డ్‌లను శక్తి రేఖలు అని పిలవబడే రూపంలో వర్ణించవచ్చని అందరికీ తెలుసు, ప్రతి పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ యొక్క దిశ క్షేత్ర బలం యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది.

ద్రవ సారూప్యతకు తిరిగి వెళ్దాం మరియు ద్రవం యొక్క వేగ క్షేత్రాన్ని ఊహించుకుందాం.మనల్ని మనం ఒక ప్రశ్న వేసుకుందాం: ద్రవం తిరుగుతుందా? అంటే, ఇది ప్రాథమికంగా కొన్ని ఊహాత్మక క్లోజ్డ్ లూప్ దిశలో కదులుతుందా?

ఎక్కువ స్పష్టత కోసం, ఒక పెద్ద కంటైనర్‌లోని ద్రవం ఏదో ఒకవిధంగా కదులుతున్నట్లు ఊహించుకోండి (Fig. A) మరియు మేము అకస్మాత్తుగా దాని వాల్యూమ్ మొత్తాన్ని స్తంభింపజేస్తాము, కాని వాల్యూమ్‌ను ఏకరీతిలో మూసివేసిన ట్యూబ్ రూపంలో స్తంభింపజేయకుండా ఉంచగలిగాము. గోడలపై ద్రవం యొక్క ఘర్షణ (అత్తి బి).

ఈ ట్యూబ్ వెలుపల, ద్రవం మంచుగా మారిపోయింది మరియు అందువల్ల ఇకపై కదలదు, కానీ ట్యూబ్ లోపల ద్రవం దాని కదలికను కొనసాగించగలదు, ఇది ప్రబలమైన మొమెంటం ఉంటే, ఉదాహరణకు, సవ్య దిశలో (Fig. . ° C). అప్పుడు ట్యూబ్‌లోని ద్రవ వేగం మరియు ట్యూబ్ పొడవు యొక్క ఉత్పత్తిని ద్రవ వేగం ప్రసరణ అంటారు.

అదేవిధంగా, మేము వెక్టార్ ఫీల్డ్ కోసం సర్క్యులేషన్‌ను నిర్వచించగలము, అయితే మళ్లీ ఫీల్డ్ దేనికైనా వేగమని చెప్పలేము, అయినప్పటికీ మేము ఒక ఆకృతి వెంట "సర్క్యులేషన్" యొక్క గణిత లక్షణాన్ని నిర్వచించవచ్చు.

కాబట్టి, ఊహాత్మక క్లోజ్డ్ లూప్ వెంట వెక్టార్ ఫీల్డ్ యొక్క ప్రసరణను లూప్ యొక్క పొడవు ద్వారా - లూప్ యొక్క పాసేజ్ దిశలో వెక్టర్ యొక్క సగటు టాంజెన్షియల్ భాగం యొక్క ఉత్పత్తిగా నిర్వచించవచ్చు.