బయోట్-సావర్ట్ చట్టం మరియు మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ యొక్క సర్క్యులేషన్ యొక్క సిద్ధాంతం

1820లో, ఫ్రెంచ్ శాస్త్రవేత్తలు జీన్-బాప్టిస్ట్ బయోట్ మరియు ఫెలిక్స్ సావార్డ్, ప్రత్యక్ష ప్రవాహాల యొక్క అయస్కాంత క్షేత్రాలను అధ్యయనం చేయడానికి ఉమ్మడి ప్రయోగాల సమయంలో, కండక్టర్ ద్వారా ప్రవహించే ప్రత్యక్ష ప్రవాహం యొక్క అయస్కాంత ప్రేరణ ఫలితంగా పరిగణించబడుతుందని నిస్సందేహంగా నిర్ధారించారు. కరెంట్‌తో ఈ వైర్ యొక్క అన్ని విభాగాల సాధారణ చర్య. అంటే అయస్కాంత క్షేత్రం సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రాన్ని (క్షేత్రాల సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం) పాటిస్తుంది.

DC వైర్ల సమూహం ద్వారా సృష్టించబడిన అయస్కాంత క్షేత్రం క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది అయస్కాంత ప్రేరణప్రతి కండక్టర్ విడిగా సృష్టించిన అయస్కాంత ప్రేరణల వెక్టార్ మొత్తంగా దాని విలువ నిర్వచించబడుతుంది. అంటే, డైరెక్ట్ కరెంట్ కండక్టర్ యొక్క ఇండక్షన్ B అనేది పరిగణించబడే డైరెక్ట్ కరెంట్ కండక్టర్ I యొక్క ఎలిమెంటరీ సెక్షన్స్ dlకి చెందిన ఎలిమెంటరీ ఇండక్షన్స్ dB యొక్క వెక్టార్ మొత్తానికి తగిన విధంగా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది.

డైరెక్ట్ కరెంట్ కండక్టర్ యొక్క ప్రాథమిక విభాగాన్ని వేరుచేయడం ఆచరణాత్మకంగా అవాస్తవికం, ఎందుకంటే డి.సి. ఎల్లప్పుడూ మూసివేయబడింది.కానీ మీరు వైర్ ద్వారా సృష్టించబడిన మొత్తం అయస్కాంత ప్రేరణను కొలవవచ్చు, అంటే, ఇచ్చిన వైర్ యొక్క అన్ని ప్రాథమిక భాగాల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది.

అందువలన, Biot-Sovar యొక్క చట్టం కండక్టర్ యొక్క విభాగం (తెలిసిన పొడవు dl) యొక్క మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ B యొక్క విలువను, ఇచ్చిన డైరెక్ట్ కరెంట్ Iతో, కండక్టర్ యొక్క ఈ విభాగం నుండి కొంత దూరంలో r మరియు a లో కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఎంచుకున్న విభాగం నుండి పరిశీలన యొక్క నిర్దిష్ట దిశ (ప్రస్తుత దిశ మరియు కండక్టర్ యొక్క విభాగం నుండి కండక్టర్ సమీపంలోని స్థలంలో పరిశీలించిన బిందువు వరకు దిశ మధ్య కోణం యొక్క సైన్ ద్వారా సెట్ చేయబడింది):

మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ యొక్క దిశను కుడి చేతి స్క్రూ లేదా గింబల్ నియమం ద్వారా సులభంగా నిర్ణయించవచ్చని ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ధారించబడింది: గింబాల్ యొక్క భ్రమణ సమయంలో అనువాద కదలిక దిశ వైర్‌లోని డైరెక్ట్ కరెంట్ I దిశతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు గింబల్ హ్యాండిల్ యొక్క భ్రమణ దిశ ఇచ్చిన కరెంట్ ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ B యొక్క దిశను నిర్ణయిస్తుంది.

స్ట్రెయిట్ కరెంట్ మోసే వైర్ యొక్క అయస్కాంత క్షేత్రం, అలాగే దానికి బయో-సావర్ట్ చట్టం యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క దృష్టాంతం చిత్రంలో చూపబడింది:

కాబట్టి, మొత్తం అయస్కాంత క్షేత్రానికి స్థిరమైన కరెంట్ కండక్టర్ యొక్క ప్రతి చిన్న విభాగాల సహకారాన్ని మేము ఏకీకృతం చేస్తే, దాని నుండి ఒక నిర్దిష్ట వ్యాసార్థం R వద్ద ప్రస్తుత కండక్టర్ యొక్క అయస్కాంత ప్రేరణను కనుగొనడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము. .

అదే విధంగా, బయో-సావార్డ్ యొక్క నియమాన్ని ఉపయోగించి, మీరు వివిధ కాన్ఫిగరేషన్ల యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రవాహాల నుండి మరియు అంతరిక్షంలోని కొన్ని పాయింట్ల నుండి అయస్కాంత ప్రేరణలను లెక్కించవచ్చు, ఉదాహరణకు, వృత్తాకార సర్క్యూట్ మధ్యలో ఉన్న అయస్కాంత ప్రేరణ కరెంట్ ద్వారా కనుగొనబడుతుంది కింది సూత్రం:

మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ యొక్క దిశను గింబాల్ నియమం ప్రకారం సులభంగా కనుగొనవచ్చు, ఇప్పుడు మాత్రమే గింబాల్‌ను క్లోజ్డ్ కరెంట్ దిశలో తిప్పాలి మరియు గింబాల్ యొక్క ఫార్వర్డ్ కదలిక మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ యొక్క దిశను చూపుతుంది.

ఉత్పాదక క్షేత్రం ద్వారా ఇవ్వబడిన ప్రవాహాల ఆకృతీకరణ యొక్క సమరూపతను మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటే తరచుగా అయస్కాంత క్షేత్రానికి సంబంధించి గణనలను సరళీకృతం చేయవచ్చు. ఇక్కడ మీరు మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ యొక్క సర్క్యులేషన్ యొక్క సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు (ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్స్లో గాస్ సిద్ధాంతం వలె). "మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ సర్క్యులేషన్" అంటే ఏమిటి?

మనం అంతరిక్షంలో ఏకపక్ష ఆకారం యొక్క నిర్దిష్ట క్లోజ్డ్ లూప్‌ని ఎంచుకుందాం మరియు దాని ప్రయాణం యొక్క సానుకూల దిశను షరతులతో సూచిస్తాము.ఈ లూప్ యొక్క ప్రతి పాయింట్ కోసం, మీరు ఆ సమయంలో లూప్‌కు టాంజెంట్‌పై మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ B యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొనవచ్చు. కాంటౌర్ యొక్క అన్ని విభాగాల ప్రాథమిక పొడవుల ద్వారా ఈ పరిమాణాల ఉత్పత్తుల మొత్తం ఈ ఆకృతి వెంట మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ B యొక్క ప్రసరణ:

ఆచరణాత్మకంగా ఇక్కడ సాధారణ అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని సృష్టించే అన్ని ప్రవాహాలు పరిశీలనలో ఉన్న సర్క్యూట్‌లోకి చొచ్చుకుపోవచ్చు లేదా వాటిలో కొన్ని దాని వెలుపల ఉండవచ్చు. సర్క్యులేషన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం: క్లోజ్డ్ లూప్‌లోని డైరెక్ట్ కరెంట్‌ల మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ B యొక్క ప్రసరణ సంఖ్యాపరంగా లూప్‌లోకి చొచ్చుకుపోయే అన్ని ప్రత్యక్ష ప్రవాహాల మొత్తం ద్వారా అయస్కాంత స్థిరాంకం mu0 యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతాన్ని 1826లో ఆండ్రీ మేరీ ఆంపియర్ రూపొందించారు:

పై బొమ్మను పరిగణించండి. ఇక్కడ, ప్రవాహాలు I1 మరియు I2 సర్క్యూట్‌లోకి చొచ్చుకుపోతాయి, కానీ అవి వేర్వేరు దిశల్లో దర్శకత్వం వహించబడతాయి, అంటే అవి షరతులతో కూడిన విభిన్న సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి.సానుకూల సంకేతం అయస్కాంత ప్రేరణ యొక్క దిశను కలిగి ఉంటుంది (ప్రాథమిక నియమం ప్రకారం) ఎంచుకున్న సర్క్యూట్ యొక్క బైపాస్ దిశతో సమానంగా ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితికి, ప్రసరణ సిద్ధాంతం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

సాధారణంగా, మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ B యొక్క సర్క్యులేషన్ కోసం సిద్ధాంతం అయస్కాంత క్షేత్ర సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం మరియు బయోట్-సావార్డ్ చట్టం నుండి అనుసరిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, డైరెక్ట్ కరెంట్ కండక్టర్ యొక్క మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ కోసం మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము. ఒక వృత్తం రూపంలో ఒక ఆకృతిని ఎంచుకుందాం, దీని మధ్యలో ఈ వైర్ వెళుతుంది మరియు వైర్ ఆకృతి యొక్క విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది.

ఈ విధంగా వృత్తం యొక్క కేంద్రం నేరుగా కండక్టర్ మధ్యలో ఉంటుంది, అంటే కండక్టర్‌లో ఉంటుంది. చిత్రం సుష్టంగా ఉన్నందున, వెక్టర్ B వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా మళ్లించబడుతుంది మరియు టాంజెంట్‌పై దాని ప్రొజెక్షన్ ప్రతిచోటా ఒకే విధంగా ఉంటుంది మరియు వెక్టర్ B యొక్క పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది. ప్రసరణ సిద్ధాంతం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

అందువల్ల, డైరెక్ట్ కరెంట్‌తో నేరుగా కండక్టర్ యొక్క అయస్కాంత ప్రేరణ కోసం సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది (ఈ సూత్రం ఇప్పటికే పైన ఇవ్వబడింది). అదేవిధంగా, సర్క్యులేషన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, ఫీల్డ్ లైన్ల చిత్రాన్ని సులభంగా దృశ్యమానం చేయడానికి సుష్ట DC కాన్ఫిగరేషన్ల యొక్క అయస్కాంత ప్రేరణలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు.

టొరాయిడల్ ఇండక్టర్ లోపల అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని కనుగొనడం అనేది ప్రసరణ సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనానికి ఆచరణాత్మకంగా ముఖ్యమైన ఉదాహరణలలో ఒకటి.

N మలుపుల సంఖ్యతో డోనట్-ఆకారపు కార్డ్‌బోర్డ్ ఫ్రేమ్‌పై టొరాయిడల్ కాయిల్ గాయం రౌండ్-టు-రౌండ్ ఉందని అనుకుందాం. ఈ కాన్ఫిగరేషన్‌లో, మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ లైన్లు డోనట్ లోపల జతచేయబడి ఉంటాయి మరియు ఆకారంలో కేంద్రీకృత (ఒకదానికొకటి లోపల) సర్కిల్‌లుగా ఉంటాయి. .

మీరు డోనట్ యొక్క అంతర్గత అక్షం వెంట మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ దిశలో చూస్తే, కరెంట్ ప్రతిచోటా సవ్యదిశలో (గింబల్ నియమం ప్రకారం) నిర్దేశించబడిందని తేలింది. కాయిల్ లోపల అయస్కాంత ప్రేరణ యొక్క పంక్తులలో ఒకదానిని (ఎరుపు రంగులో చూపబడింది) పరిగణించండి మరియు దానిని r వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాకార లూప్‌గా ఎంచుకోండి. అప్పుడు ఇచ్చిన సర్క్యూట్ కోసం సర్క్యులేషన్ సిద్ధాంతం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

మరియు కాయిల్ లోపల ఫీల్డ్ యొక్క అయస్కాంత ప్రేరణ దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

ఒక సన్నని టొరాయిడల్ కాయిల్ కోసం, అయస్కాంత క్షేత్రం దాని మొత్తం క్రాస్-సెక్షన్‌లో దాదాపుగా ఏకరీతిగా ఉంటుంది, అయస్కాంత ప్రేరణ కోసం వ్యక్తీకరణను అనంతమైన పొడవైన సోలనోయిడ్ వలె వ్రాయడం సాధ్యమవుతుంది, ఒక్కో యూనిట్ పొడవుకు మలుపుల సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది - n:

అయస్కాంత క్షేత్రం పూర్తిగా లోపల ఉన్న అనంతమైన పొడవైన సోలనోయిడ్‌ను ఇప్పుడు పరిగణించండి. మేము ఎంచుకున్న దీర్ఘచతురస్రాకార ఆకృతికి ప్రసరణ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము.

ఇక్కడ మాగ్నెటిక్ ఇండక్షన్ వెక్టర్ 2వ వైపు మాత్రమే నాన్-జీరో ప్రొజెక్షన్ ఇస్తుంది (దాని పొడవు L కి సమానం). n పరామితిని ఉపయోగించి — «యూనిట్ పొడవుకు మలుపుల సంఖ్య», మేము సర్క్యులేషన్ సిద్ధాంతం యొక్క అటువంటి రూపాన్ని పొందుతాము, ఇది చివరికి మల్టీటన్‌కాయ్ టొరాయిడల్ కాయిల్‌కు అదే రూపానికి తగ్గిస్తుంది: