AC సర్క్యూట్లలో గణనల కోసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఎందుకు ఉపయోగించబడతాయి

మీకు తెలిసినట్లుగా, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్‌లో కొన్ని సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఉపయోగించబడతాయి. కానీ అవి దేనికి ఉపయోగించబడతాయి మరియు ఈ విధంగా ఎందుకు చేస్తారు? ఈ వ్యాసం యొక్క కోర్సులో మనం అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము. వాస్తవం ఏమిటంటే సంక్లిష్ట పద్ధతి లేదా సంక్లిష్ట వ్యాప్తి యొక్క పద్ధతి సంక్లిష్ట AC సర్క్యూట్లను లెక్కించడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మరియు ప్రారంభించడానికి, గణితం యొక్క కొన్ని ప్రాథమికాలను గుర్తుచేసుకుందాం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సంక్లిష్ట సంఖ్య z ఊహాత్మక భాగాన్ని మరియు వాస్తవ భాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు టెక్స్ట్‌లో విభిన్నంగా సూచించబడుతుంది. z సంక్లిష్ట సంఖ్యను బీజగణితం, త్రికోణమితి లేదా ఘాతాంక రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

చారిత్రక నేపథ్యం

ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఇంజనీర్, తత్వవేత్త, వైద్యుడు మరియు జ్యోతిష్కుడు గిరోలామో కార్డానో తన గ్రంథం "ది గ్రేట్ ఆర్ట్"లో సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఈ పద్ధతిని ప్రచురించినప్పుడు, ఊహాత్మక సంఖ్యల ఆలోచన 1545లో ప్రారంభమైందని నమ్ముతారు. , ఈ పనిని ప్రచురించడానికి 6 సంవత్సరాల ముందు నికోలో తనకు టార్టాగ్లియా (ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు)కి ఈ ఆలోచన ఇచ్చాడని అతను ఒప్పుకున్నాడు. తన పనిలో, క్రాడానో రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాడు:

ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, శాస్త్రవేత్త కొన్ని "అవాస్తవ" సంఖ్య ఉనికిని అంగీకరించవలసి వచ్చింది, దీని వర్గము మైనస్ ఒకటి «-1»కి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా, ఒక వర్గమూలం ఉన్నట్లుగా ప్రతికూల సంఖ్య, మరియు అది ఇప్పుడు స్క్వేర్ చేయబడితే, మూలం కింద సంబంధిత ప్రతికూల సంఖ్యగా మారుతుంది. కార్డానో గుణకారం యొక్క నియమాన్ని పేర్కొన్నాడు, దీని ప్రకారం:

మూడు శతాబ్దాలుగా, గణిత సంఘం కార్డానో ప్రతిపాదించిన కొత్త విధానానికి అలవాటు పడే ప్రక్రియలో ఉంది. ఊహాత్మక సంఖ్యలు క్రమంగా రూట్ తీసుకుంటున్నాయి, కానీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు అంగీకరించడానికి ఇష్టపడరు. బీజగణితంపై గాస్ యొక్క రచనలు ప్రచురించబడే వరకు, అతను బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడు, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు చివరకు పూర్తిగా ఆమోదించబడ్డాయి, 19వ శతాబ్దం చేతిలో ఉంది.

ఊహాజనిత సంఖ్యలు గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు నిజమైన ఆయుష్షుగా మారాయి, ఎందుకంటే ఊహాజనిత సంఖ్యల ఉనికిని అంగీకరించడం ద్వారా చాలా క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం చాలా సులభం.

కాబట్టి అది త్వరలోనే ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్‌కి వచ్చింది. AC సర్క్యూట్‌లు కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు వాటిని లెక్కించడానికి అనేక సమగ్రాలను లెక్కించవలసి ఉంటుంది, ఇది తరచుగా చాలా అసౌకర్యంగా ఉంటుంది.

చివరగా, 1893లో, తెలివైన ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీర్ కార్ల్ ఆగస్ట్ స్టెయిన్‌మెట్జ్ చికాగోలో ఇంటర్నేషనల్ ఎలక్ట్రోటెక్నికల్ కాంగ్రెస్‌లో "ఎలక్ట్రికల్ ఇంజినీరింగ్‌లో కాంప్లెక్స్ నంబర్స్ మరియు వాటి అప్లికేషన్" అనే నివేదికతో మాట్లాడారు, ఇది వాస్తవానికి సంక్లిష్ట పద్ధతి యొక్క ఇంజనీర్లచే ఆచరణాత్మక అప్లికేషన్ యొక్క ప్రారంభాన్ని సూచిస్తుంది. AC కరెంట్ కోసం ఎలక్ట్రిక్ సర్క్యూట్లను లెక్కించడం.

ఇది భౌతిక శాస్త్ర కోర్సు నుండి మనకు తెలుసు ఏకాంతర ప్రవాహంను - ఇది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటిలోనూ కాలక్రమేణా మారుతున్న కరెంట్.

సాంకేతికతలో, ఆల్టర్నేటింగ్ కరెంట్ యొక్క వివిధ రూపాలు ఉన్నాయి, కానీ ఈ రోజు సర్వసాధారణం ఆల్టర్నేటింగ్ సైనూసోయిడల్ కరెంట్, ఇది ప్రతిచోటా ఉపయోగించబడుతుంది, దీని సహాయంతో విద్యుత్ ప్రసారం చేయబడుతుంది, ఆల్టర్నేటింగ్ కరెంట్ రూపంలో, ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది, మార్చబడుతుంది ట్రాన్స్ఫార్మర్లు మరియు లోడ్ల ద్వారా వినియోగించబడుతుంది. సైనూసోయిడల్ (హార్మోనిక్) చట్టం ప్రకారం సైనూసోయిడల్ కరెంట్ క్రమానుగతంగా మారుతుంది.

ప్రస్తుత మరియు వోల్టేజ్ యొక్క ప్రభావవంతమైన విలువలు రూట్ యొక్క వ్యాప్తి విలువల కంటే రెండు రెట్లు తక్కువగా ఉంటాయి:

సంక్లిష్ట పద్ధతిలో, ప్రవాహాలు మరియు వోల్టేజీల యొక్క ప్రభావవంతమైన విలువలు క్రింది విధంగా వ్రాయబడ్డాయి:

ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్‌లో, ఊహాజనిత యూనిట్‌ను «j» అక్షరంతో సూచిస్తారని గమనించండి, ఎందుకంటే కరెంట్‌ని సూచించడానికి ఇక్కడ «i» అక్షరం ఇప్పటికే ఉపయోగించబడింది.

నుండి ఓం యొక్క చట్టం ప్రతిఘటన యొక్క సంక్లిష్ట విలువను నిర్ణయిస్తుంది:

సంక్లిష్ట విలువల కూడిక మరియు వ్యవకలనం బీజగణిత రూపంలో మరియు గుణకారం మరియు విభజన ఘాతాంక రూపంలో జరుగుతుంది.

ప్రధాన పారామితుల యొక్క నిర్దిష్ట విలువలతో నిర్దిష్ట సర్క్యూట్ యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి సంక్లిష్ట వ్యాప్తి యొక్క పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణ

ఇచ్చిన:

• కాయిల్ వోల్టేజ్ 50 V,

• రెసిస్టర్ రెసిస్టెన్స్ 25 ఓం,

• కాయిల్ ఇండక్టెన్స్ 500 mH,

• కెపాసిటర్ యొక్క విద్యుత్ సామర్థ్యం 30 మైక్రోఫారడ్స్,

• కాయిల్ నిరోధకత 10 ఓం,

• మెయిన్స్ ఫ్రీక్వెన్సీ 50 Hz.

కనుగొనండి: అమ్మీటర్ మరియు వోల్టమీటర్ రీడింగ్‌లు అలాగే వాట్‌మీటర్.

సమాధానం:

ప్రారంభించడానికి, మేము సిరీస్-కనెక్ట్ చేయబడిన మూలకాల యొక్క సంక్లిష్ట ప్రతిఘటనను వ్రాస్తాము, ఇది నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలను కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు మేము క్రియాశీల-ప్రేరక మూలకం యొక్క సంక్లిష్ట నిరోధకతను కనుగొంటాము.

గుర్తొస్తోంది! ఘాతాంక రూపాన్ని పొందడానికి, మాడ్యులస్ z వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాల వర్గాల మొత్తం వర్గమూలానికి సమానం మరియు వాస్తవ భాగంతో భాగించబడిన ఊహాత్మక భాగం యొక్క ఆర్క్టాంజెంట్‌కు సమానమైన piని కనుగొనండి.

అప్పుడు మేము కరెంట్ మరియు తదనుగుణంగా, అమ్మీటర్ యొక్క రీడింగులను కనుగొంటాము:

కాబట్టి అమ్మీటర్ 0.317 A కరెంట్‌ని చూపుతుంది—అది మొత్తం సిరీస్ సర్క్యూట్ ద్వారా వచ్చే కరెంట్.

ఇప్పుడు మనం కెపాసిటర్ యొక్క కెపాసిటివ్ నిరోధకతను కనుగొంటాము, అప్పుడు మేము దాని సంక్లిష్ట నిరోధకతను నిర్ణయిస్తాము:

మేము ఈ సర్క్యూట్ యొక్క మొత్తం కాంప్లెక్స్ ఇంపెడెన్స్‌ను గణిస్తాము:

ఇప్పుడు మేము సర్క్యూట్‌కు వర్తించే ప్రభావవంతమైన వోల్టేజ్‌ను కనుగొంటాము:

వోల్టమీటర్ 19.5 వోల్ట్ల ప్రభావవంతమైన వోల్టేజీని చూపుతుంది.

చివరగా, ప్రస్తుత మరియు వోల్టేజ్ మధ్య దశ వ్యత్యాసాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, వాట్మీటర్ ప్రదర్శించే శక్తిని మేము కనుగొంటాము

వాట్‌మీటర్ 3.51 వాట్‌లను చూపుతుంది.

ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్‌లో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఎంత ముఖ్యమైనవో ఇప్పుడు మీరు అర్థం చేసుకున్నారు. ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ల అనుకూలమైన గణన కోసం అవి ఉపయోగించబడతాయి. అనేక ఎలక్ట్రానిక్ కొలిచే పరికరాలు అదే ప్రాతిపదికన పనిచేస్తాయి.