కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్ ఆల్జీబ్రా, బూలియన్ ఆల్జీబ్రా యొక్క చట్టాలు

రిలే సర్క్యూట్ల నిర్మాణం మరియు ఆపరేటింగ్ పరిస్థితుల యొక్క విశ్లేషణాత్మక రికార్డు సర్క్యూట్ల యొక్క విశ్లేషణాత్మక సమానమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం సాధ్యం చేస్తుంది, అనగా నిర్మాణ సూత్రాలను మార్చడం ద్వారా, వాటి ఆపరేషన్లో సారూప్య పథకాలను కనుగొనడం. కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్‌లను వ్యక్తీకరించే నిర్మాణ సూత్రాల కోసం మార్పిడి పద్ధతులు ప్రత్యేకంగా పూర్తిగా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్‌ల కోసం, తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క గణిత ఉపకరణం ఉపయోగించబడుతుంది, మరింత ఖచ్చితంగా, దాని సరళమైన రకాల్లో ఒకటి, దీనిని ప్రతిపాదన కాలిక్యులస్ లేదా బూలియన్ బీజగణితం అని పిలుస్తారు (గత శతాబ్దపు గణిత శాస్త్రవేత్త J. బూల్ తర్వాత).

ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ వాస్తవానికి ఆధారపడటాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి అభివృద్ధి చేయబడింది (వాటిని రూపొందించే సాధారణ ప్రతిపాదనల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధంపై సంక్లిష్ట తీర్పుల యొక్క నిజం లేదా తప్పు. సారాంశంలో, ప్రతిపాదిత కాలిక్యులస్ అనేది రెండు సంఖ్యల బీజగణితం, అంటే బీజగణితం. ప్రతి వ్యక్తి వాదన మరియు ప్రతి ఫంక్షన్ రెండు విలువలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్‌లను మార్చడానికి బూలియన్ బీజగణితాన్ని ఉపయోగించే అవకాశాన్ని ఇది నిర్ణయిస్తుంది, ఎందుకంటే నిర్మాణ సూత్రంలో చేర్చబడిన ప్రతి ఆర్గ్యుమెంట్‌లు (పరిచయాలు) కేవలం రెండు విలువలను మాత్రమే తీసుకోగలవు, అంటే, అది మూసివేయబడవచ్చు లేదా తెరవవచ్చు మరియు మొత్తం ఫంక్షన్ నిర్మాణాత్మకంగా సూచించబడుతుంది. ఫార్ములా ఒక క్లోజ్డ్ లేదా ఓపెన్ లూప్‌ను వ్యక్తపరచగలదు.

బూలియన్ బీజగణితం పరిచయం చేస్తుంది:

1) సాధారణ బీజగణితంలో వలె పేర్లు కలిగి ఉన్న వస్తువులు: స్వతంత్ర చరరాశులు మరియు విధులు — అయినప్పటికీ, సాధారణ బీజగణితం వలె కాకుండా, బూలియన్ బీజగణితంలో రెండూ రెండు విలువలను మాత్రమే తీసుకోగలవు: 0 మరియు 1;

2) ప్రాథమిక లాజిక్ కార్యకలాపాలు:

• తార్కిక జోడింపు (లేదా డిస్జంక్షన్, లాజికల్ OR, సంకేతం ద్వారా సూచించబడుతుందా?), ఇది క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది: ఆపరేషన్ యొక్క అన్ని వాదనలు 0కి సమానంగా ఉంటే ఆపరేషన్ ఫలితం 0 అవుతుంది, లేకపోతే ఫలితం 1;

• తార్కిక గుణకారం (లేదా సంయోగం, తార్కిక AND, ?, లేదా పేర్కొనబడలేదు) ఇది క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది: ఆపరేషన్ యొక్క అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌లు 1కి సమానంగా ఉంటేనే ఆపరేషన్ ఫలితం 1 అవుతుంది, లేకపోతే ఫలితం 0;

• నిరాకరణ (లేదా వైస్ వెర్సా, లాజికల్ NOT, ఆర్గ్యుమెంట్ పైన ఉన్న బార్ ద్వారా సూచించబడుతుంది), ఇది క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది: ఆపరేషన్ ఫలితం వాదన యొక్క వ్యతిరేక విలువను కలిగి ఉంటుంది;

3) సిద్ధాంతాలు (బూలియన్ బీజగణితం యొక్క చట్టాలు), ఇది తార్కిక వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి నియమాలను నిర్వచిస్తుంది.

ప్రతి తార్కిక కార్యకలాపాలు వేరియబుల్స్‌పై మరియు ఫంక్షన్‌లపై నిర్వహించవచ్చని గమనించండి, వీటిని దిగువ బూలియన్ ఫంక్షన్‌లు అంటారు... సాధారణ బీజగణితంతో సారూప్యతతో, బూలియన్ బీజగణితంలో, తార్కిక గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్ లాజికల్ కంటే ప్రాధాన్యతనిస్తుందని గుర్తుంచుకోండి. అదనంగా ఆపరేషన్.

బూలియన్ వ్యక్తీకరణలు అనేక వస్తువులపై (వేరియబుల్స్ లేదా ఫంక్షన్‌లు) తార్కిక కార్యకలాపాలను కలపడం ద్వారా ఏర్పడతాయి, వీటిని ఆపరేషన్ యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్స్ అంటారు.

బూలియన్ బీజగణితం యొక్క చట్టాలను ఉపయోగించి తార్కిక వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం సాధారణంగా కనిష్టీకరించే లక్ష్యంతో నిర్వహించబడుతుంది, ఎందుకంటే సరళమైన వ్యక్తీకరణ, లాజిక్ చైన్ యొక్క సంక్లిష్టత చిన్నది, ఇది తార్కిక వ్యక్తీకరణ యొక్క సాంకేతిక అమలు.

బూలియన్ బీజగణితం యొక్క చట్టాలు సిద్ధాంతాలు మరియు పరిణామాల సమితిగా ప్రదర్శించబడ్డాయి. వేరియబుల్స్ యొక్క విభిన్న విలువలను భర్తీ చేయడం ద్వారా వీటిని చాలా సరళంగా తనిఖీ చేయవచ్చు.

బూలియన్ ఫంక్షన్ కోసం ఏదైనా తార్కిక వ్యక్తీకరణ యొక్క సాంకేతిక అనలాగ్ లాజిక్ రేఖాచిత్రం... ఈ సందర్భంలో, బూలియన్ ఫంక్షన్ ఆధారపడిన వేరియబుల్స్ ఈ సర్క్యూట్ యొక్క బాహ్య ఇన్‌పుట్‌లకు అనుసంధానించబడి ఉంటాయి, బూలియన్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ ఏర్పడుతుంది సర్క్యూట్ యొక్క బాహ్య అవుట్‌పుట్, మరియు లాజికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో ప్రతి లాజికల్ ఆపరేషన్ లాజికల్ ఎలిమెంట్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది.

ఈ విధంగా, లాజిక్ సర్క్యూట్ యొక్క అవుట్‌పుట్ వద్ద ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్‌ల యొక్క ప్రతి సెట్ కోసం, ఈ వేరియబుల్స్ సెట్ యొక్క బూలియన్ ఫంక్షన్ విలువకు అనుగుణంగా ఒక సిగ్నల్ ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది (ఇంకా, మేము క్రింది కన్వెన్షన్‌ను ఉపయోగిస్తాము: 0 — తక్కువ సిగ్నల్ స్థాయి , 1 — అధిక స్థాయి సిగ్నల్).

లాజిక్ సర్క్యూట్‌లను నిర్మించేటప్పుడు, పారాఫేస్ కోడ్‌లో వేరియబుల్స్ ఇన్‌పుట్‌కు అందించబడతాయని మేము అనుకుంటాము (అంటే, వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రత్యక్ష మరియు విలోమ విలువలు రెండూ అందుబాటులో ఉన్నాయి).

టేబుల్ 1 GOST 2.743-91కి అనుగుణంగా కొన్ని లాజిక్ మూలకాల యొక్క సాంప్రదాయ గ్రాఫిక్ హోదాలను అలాగే వాటి విదేశీ ప్రతిరూపాలను చూపుతుంది.

ట్యాబ్‌లో బూలియన్ బీజగణితం (AND, OR, NOT) యొక్క మూడు కార్యకలాపాలను చేసే మూలకాలతో పాటు. 1 ప్రధాన నుండి ఉత్పన్నమైన కార్యకలాపాలను నిర్వహించే అంశాలను చూపుతుంది:

— మరియు -కాదు — లాజికల్ గుణకారం యొక్క తిరస్కరణ, దీనిని స్కేఫర్ తరలింపు అని కూడా పిలుస్తారు (చే సూచించబడుతుంది |)

— లేదా -కాదు — లాజికల్ కాంప్లిమెంట్ యొక్క నిరాకరణ, దీనిని పియర్స్ బాణం అని కూడా పిలుస్తారు (చేత సూచించబడినది ?)

లాజిక్ గేట్‌లను వరుసగా కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మీరు ఏదైనా బూలియన్ ఫంక్షన్‌ని అమలు చేయవచ్చు.

సాధారణంగా రిలే సర్క్యూట్‌లను వ్యక్తీకరించే స్ట్రక్చరల్ ఫార్ములాలు, అనగా, రియాక్ట్ అయ్యే ఈగల్స్ చిహ్నాలను కలిగి ఉంటాయి, ఇవి క్లోజ్డ్ లేదా ఓపెన్ సర్క్యూట్‌ను మాత్రమే వ్యక్తీకరించే రెండు విలువల ఫంక్షన్‌లుగా పరిగణించబడవు. అందువల్ల, అటువంటి ఫంక్షన్లతో పని చేస్తున్నప్పుడు, బూలియన్ బీజగణితం యొక్క పరిమితులను దాటి అనేక కొత్త డిపెండెన్సీలు తలెత్తుతాయి.

బూలియన్ బీజగణితంలో, నాలుగు జతల ప్రాథమిక చట్టాలు ఉన్నాయి: రెండు డిస్ప్లేస్‌మెంట్‌లు, రెండు కాంబినేటోరియల్, రెండు డిస్ట్రిబ్యూటివ్ మరియు రెండు లీగల్ ఇన్‌వర్షన్‌లు. ఈ చట్టాలు విభిన్న వ్యక్తీకరణల సమానత్వాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, అనగా, సాధారణ బీజగణితంలో గుర్తింపుల ప్రత్యామ్నాయం వలె ఒకదానికొకటి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండే వ్యక్తీకరణలను వారు పరిగణిస్తారు. సమానత్వ చిహ్నంగా మనం సాధారణ బీజగణితంలో సమానత్వ చిహ్నంగా ఉండే చిహ్నాన్ని తీసుకుంటాము (=).

కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్‌ల కోసం బూలియన్ బీజగణితం యొక్క చట్టాల చెల్లుబాటు సమానమైన వ్యక్తీకరణల యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఉండే సర్క్యూట్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా స్థాపించబడుతుంది.

ప్రయాణ చట్టాలు

జోడించడానికి: x + y = y + x

ఈ వ్యక్తీకరణలకు సంబంధించిన స్కీమాటిక్స్ అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 1, ఎ.

ఎడమ మరియు కుడి సర్క్యూట్‌లు సాధారణంగా ఓపెన్ సర్క్యూట్‌లు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి మూలకాలు (X లేదా Y) ప్రేరేపించబడినప్పుడు మూసివేయబడతాయి, అంటే ఈ సర్క్యూట్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. గుణకారం కోసం: x ·y = y ·NS.

ఈ వ్యక్తీకరణలకు సంబంధించిన స్కీమాటిక్స్ అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 1b, వారి సమానత్వం కూడా స్పష్టంగా ఉంది.

అన్నం. 1

కలయిక చట్టాలు

అదనంగా: (x + y) + z = x + (y + z)

గుణకారం కోసం: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

ఈ వ్యక్తీకరణలకు సంబంధించిన సమానమైన సర్క్యూట్‌ల జతల అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 2, ఎ, బి

అన్నం. 2

పంపిణీ చట్టాలు

గుణకారం మరియు జోడింపు: (x + y) +z = x + (y + z)

సంకలనం vs గుణకారం. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

ఈ వ్యక్తీకరణలకు సంబంధించిన స్కీమాటిక్స్ అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 3, ఎ, బి.

అన్నం. 3.

కాంటాక్ట్ యాక్చుయేషన్ యొక్క విభిన్న కలయికలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ఈ స్కీమ్‌ల సమానత్వాన్ని సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు.

విలోమ చట్టాలు

అదనంగా: NS + c = NS·c

వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బార్ నిరాకరణ లేదా విలోమ చిహ్నం. నిరాకరణ సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణకు సంబంధించి మొత్తం ఫంక్షన్ వ్యతిరేక అర్థాన్ని కలిగి ఉందని ఈ సంకేతం సూచిస్తుంది. మొత్తం విలోమ ఫంక్షన్‌కు అనుగుణమైన రేఖాచిత్రాన్ని గీయడం సాధ్యం కాదు.కానీ ప్రతికూల సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణకు అనుగుణంగా ఒక రేఖాచిత్రాన్ని గీయవచ్చు. అందువలన, సూత్రాన్ని అంజీర్లో చూపిన రేఖాచిత్రాలతో వివరించవచ్చు. 4, ఎ.

అన్నం. 4.

ఎడమ రేఖాచిత్రం x + y వ్యక్తీకరణకు మరియు కుడివైపు NS ·cకి అనుగుణంగా ఉంటుంది

ఈ రెండు సర్క్యూట్‌లు ఆపరేషన్‌లో ఒకదానికొకటి విరుద్ధంగా ఉంటాయి, అవి: ఉత్తేజిత మూలకాలు X, Y తో ఎడమ సర్క్యూట్ ఓపెన్ సర్క్యూట్ అయితే, కుడి సర్క్యూట్ మూసివేయబడుతుంది. ఎడమ సర్క్యూట్‌లో ఉంటే, మూలకాలలో ఒకటి ప్రేరేపించబడినప్పుడు, సర్క్యూట్ మూసివేయబడుతుంది మరియు కుడి సర్క్యూట్‌లో, దీనికి విరుద్ధంగా, అది తెరుచుకుంటుంది.

ప్రతికూల సంకేతం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, ఫంక్షన్ x + y ఫంక్షన్ x + y యొక్క విలోమం కాబట్టి, x + y = NS·in అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

గుణకారం గురించి: NS · c = NS + c

సంబంధిత పథకాలు అంజీర్లో చూపబడ్డాయి. 4, బి.

ట్రాన్స్‌లోకేటివ్ మరియు కాంబినేషన్ మరియు చట్టాలు మరియు కూడికకు సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టం (సాధారణ బీజగణితం యొక్క సారూప్య చట్టాలకు అనుగుణంగా).అందువల్ల, పదాల సంకలనం మరియు గుణకారం, బ్రాకెట్‌ల వెలుపల నిబంధనలను ఉంచడం మరియు బ్రాకెట్‌ల విస్తరణ క్రమంలో నిర్మాణ సూత్రాల రూపాంతరం విషయంలో, మీరు సాధారణ బీజగణిత వ్యక్తీకరణలతో పనిచేయడానికి ఏర్పాటు చేసిన నియమాలను అనుసరించవచ్చు. గుణకారానికి సంబంధించి కూడిక యొక్క పంపిణీ చట్టం మరియు విలోమ నియమాలు బూలియన్ బీజగణితానికి ప్రత్యేకమైనవి.