సంఖ్యా వ్యవస్థలు

సంఖ్యా వ్యవస్థ అనేది విభిన్న సంఖ్యా సంకేతాలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను సూచించే నియమాల సమితి. సంఖ్యా వ్యవస్థలు రెండు రకాలుగా వర్గీకరించబడ్డాయి: నాన్-పొజిషనల్ మరియు పొజిషనల్.

స్థాన సంఖ్య వ్యవస్థలలో, ప్రతి అంకె యొక్క విలువ అది ఆక్రమించే స్థానంపై ఆధారపడి ఉండదు, అంటే, అంకెల సమితిలో అది ఆక్రమించిన స్థలంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. రోమన్ సంఖ్యా వ్యవస్థలో, ఏడు అంకెలు మాత్రమే ఉన్నాయి: ఒకటి (I), ఐదు (V), పది (X), యాభై (L), వంద (C), ఐదు వందలు (D), వెయ్యి (M). ఈ సంఖ్యలను (చిహ్నాలు) ఉపయోగించి, మిగిలిన సంఖ్యలు కూడిక మరియు తీసివేత ద్వారా వ్రాయబడతాయి. ఉదాహరణకు, IV అనేది సంఖ్య 4 (V — I), VI అనేది సంఖ్య 6 (V + I) మరియు మొదలైనవి. 666 సంఖ్య రోమన్ వ్యవస్థలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: DCLXVI.

ఈ సంజ్ఞామానం మనం ప్రస్తుతం ఉపయోగిస్తున్న దాని కంటే తక్కువ అనుకూలమైనది. ఇక్కడ ఆరు ఒక గుర్తు (VI), ఆరు పదులు మరొక (LX), ఆరు వందల మూడవ (DC)తో వ్రాయబడింది. రోమన్ సంఖ్యా వ్యవస్థలో వ్రాసిన సంఖ్యలతో అంకగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం చాలా కష్టం. అలాగే, నాన్-పొజిషనల్ సిస్టమ్‌ల యొక్క సాధారణ ప్రతికూలత ఏమిటంటే, వాటిలో తగినంత పెద్ద సంఖ్యలను సూచించడం సంక్లిష్టత, తద్వారా చాలా గజిబిజిగా సంజ్ఞామానం ఏర్పడుతుంది.

ఇప్పుడు స్థాన సంఖ్య వ్యవస్థలో అదే సంఖ్య 666ని పరిగణించండి. అందులో ఒకే గుర్తు 6 అంటే చివరి స్థానంలో ఉంటే వాటి సంఖ్య, చివరి స్థానంలో ఉంటే పదుల సంఖ్య, చివరి నుండి మూడవ స్థానంలో ఉంటే వందల సంఖ్య. సంఖ్యలను వ్రాసే ఈ సూత్రాన్ని స్థాన (స్థానిక) అంటారు. అటువంటి రికార్డింగ్‌లో, ప్రతి అంకె దాని శైలిపై మాత్రమే కాకుండా, సంఖ్య వ్రాయబడినప్పుడు అది ఎక్కడ ఉందో దానిపై ఆధారపడి సంఖ్యా విలువను పొందుతుంది.

స్థాన సంఖ్య వ్యవస్థలో, A = +a1a2a3 … ann-1anగా సూచించబడే ఏదైనా సంఖ్య మొత్తంగా సూచించబడుతుంది

ఇక్కడ n - సంఖ్య యొక్క చిత్రంలో పరిమిత సంఖ్య అంకెలు, ii సంఖ్య i-go అంకె, d - సంఖ్య వ్యవస్థ యొక్క ఆధారం, i - వర్గం యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్య, dm-i - i-ro వర్గం యొక్క "బరువు" . అంకెలు ai అసమానత 0 <= a <= (d — 1)ను సంతృప్తి పరచాలి.

దశాంశ సంజ్ఞామానం కోసం, d = 10 మరియు ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ఒకటి మరియు సున్నాలను కలిగి ఉన్న సంఖ్యలు కలిసి ఉపయోగించినప్పుడు దశాంశ లేదా బైనరీ సంఖ్యలుగా గుర్తించబడతాయి కాబట్టి, సంఖ్య వ్యవస్థ యొక్క ఆధారం సాధారణంగా సూచించబడుతుంది, ఉదాహరణకు (1100)2-బైనరీ, (1100)10-దశాంశం.

డిజిటల్ కంప్యూటర్లలో, దశాంశం కాకుండా ఇతర వ్యవస్థలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి: బైనరీ, ఆక్టల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్.

బైనరీ వ్యవస్థ

ఈ సిస్టమ్ కోసం d = 2 మరియు ఇక్కడ రెండు అంకెలు మాత్రమే అనుమతించబడతాయి, అనగా ai = 0 లేదా 1.

బైనరీ సిస్టమ్‌లో వ్యక్తీకరించబడిన ఏదైనా సంఖ్య, ఇచ్చిన బిట్ యొక్క బైనరీ అంకె కంటే రెండు రెట్లు బేస్ యొక్క శక్తి యొక్క ఉత్పత్తి మొత్తంగా సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 101.01 సంఖ్యను ఇలా వ్రాయవచ్చు: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, ఇది దశాంశ వ్యవస్థలోని సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది: 4 + 1 + 0.25 = 5.25

చాలా ఆధునిక డిజిటల్ కంప్యూటర్‌లలో, బైనరీ నంబర్ సిస్టమ్ మెషీన్‌లోని సంఖ్యలను సూచించడానికి మరియు వాటిపై అంకగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

బైనరీ నంబర్ సిస్టమ్, దశాంశతో పోలిస్తే, అంకగణిత పరికరం మరియు మెమరీ పరికరం యొక్క సర్క్యూట్‌లు మరియు సర్క్యూట్‌లను సరళీకృతం చేయడం మరియు కంప్యూటర్ యొక్క విశ్వసనీయతను పెంచడం సాధ్యం చేస్తుంది. బైనరీ సంఖ్య యొక్క ప్రతి బిట్ యొక్క అంకె ట్రాన్సిస్టర్‌లు, డయోడ్‌లు వంటి మూలకాల యొక్క "ఆన్ / ఆఫ్" స్థితులచే సూచించబడుతుంది, ఇవి "ఆన్ / ఆఫ్" స్టేట్‌లలో విశ్వసనీయంగా పనిచేస్తాయి. బైనరీ సిస్టమ్ యొక్క ప్రతికూలతలు ఒక ప్రత్యేక ప్రోగ్రామ్ ప్రకారం అసలైన డిజిటల్ డేటాను బైనరీ నంబర్ సిస్టమ్‌లోకి అనువదించాల్సిన అవసరం మరియు నిర్ణయం యొక్క ఫలితాలను దశాంశంగా చేర్చడం.

అష్ట సంఖ్య వ్యవస్థ

ఈ సిస్టమ్ బేస్ d == 8ని కలిగి ఉంది. సంఖ్యలను సూచించడానికి సంఖ్యలు ఉపయోగించబడతాయి: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

కంప్యూటర్‌లో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి (ప్రోగ్రామింగ్ ప్రక్రియలో), ​​యంత్రం యొక్క ఆపరేషన్‌ను తనిఖీ చేయడంలో మరియు ప్రోగ్రామ్‌ను డీబగ్ చేయడంలో సహాయంగా కంప్యూటర్‌లో ఆక్టల్ నంబర్ సిస్టమ్ ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ వ్యవస్థ బైనరీ సిస్టమ్ కంటే సంఖ్యకు తక్కువ ప్రాతినిధ్యాన్ని ఇస్తుంది. ఆక్టల్ నంబర్ సిస్టమ్ బైనరీ సిస్టమ్‌కి మారడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

హెక్సాడెసిమల్ సంఖ్య వ్యవస్థ

ఈ సిస్టమ్ బేస్ d = 16. సంఖ్యలను సూచించడానికి 16 అక్షరాలు ఉపయోగించబడతాయి: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, మరియు అక్షరాలు A … F దశాంశ సంఖ్యలు 10, 11, 12, 13, 14 మరియు 15ని సూచిస్తాయి. హెక్సాడెసిమల్ సంఖ్య (1D4F) 18 దశాంశ 7503కి అనుగుణంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 16 14 15 x 16O = (7503)10

హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానం బైనరీ సంఖ్యలను అష్టాంశం కంటే మరింత సంక్షిప్తంగా వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇది కొన్ని కంప్యూటర్‌ల ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ పరికరాలు మరియు నంబర్ ఆర్డర్ డిస్‌ప్లే పరికరాలలో అప్లికేషన్‌ను కనుగొంటుంది.

బైనరీ-దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థ

బైనరీ-దశాంశ వ్యవస్థలో సంఖ్యల ప్రాతినిధ్యం క్రింది విధంగా ఉంటుంది. సంఖ్య యొక్క దశాంశ సంజ్ఞామానం ప్రాతిపదికగా తీసుకోబడుతుంది, ఆపై దానిలోని ప్రతి అంకెలు (0 నుండి 9 వరకు) టెట్రాడ్ అని పిలువబడే నాలుగు-అంకెల బైనరీ సంఖ్య రూపంలో వ్రాయబడతాయి, అంటే, సూచించడానికి ఒక గుర్తు కూడా ఉపయోగించబడదు. దశాంశ వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి అంకె, కానీ నాలుగు.

ఉదాహరణకు, దశాంశ 647.59 BCD 0110 0100 0111, 0101 1001కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

బైనరీ-డెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్ ఇంటర్మీడియట్ నంబర్ సిస్టమ్‌గా మరియు ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ నంబర్‌లను ఎన్‌కోడింగ్ చేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

ఒక నంబర్ సిస్టమ్‌ను మరొకదానికి బదిలీ చేయడానికి నియమాలు

కంప్యూటర్ పరికరాల మధ్య సమాచార మార్పిడి ప్రధానంగా బైనరీ నంబర్ సిస్టమ్‌లో ప్రాతినిధ్యం వహించే సంఖ్యల ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. అయితే, సమాచారం దశాంశ వ్యవస్థలో సంఖ్యలలో వినియోగదారుకు అందించబడుతుంది మరియు కమాండ్ చిరునామా అష్ట వ్యవస్థలో ప్రదర్శించబడుతుంది. అందువల్ల కంప్యూటర్‌తో పనిచేసే ప్రక్రియలో ఒక సిస్టమ్ నుండి మరొకదానికి నంబర్‌లను బదిలీ చేయడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కింది సాధారణ నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

పూర్ణ సంఖ్యను ఏదైనా సంఖ్య వ్యవస్థ నుండి మరొకదానికి మార్చడానికి, ఈ సంఖ్యను డివైజర్ కంటే తక్కువ కాకుండా కొత్త సిస్టమ్ యొక్క ఆధారంతో వరుసగా విభజించడం అవసరం. కొత్త సిస్టమ్‌లోని సంఖ్య తప్పనిసరిగా విభజన యొక్క మిగిలిన రూపంలో వ్రాయబడాలి, చివరిదానితో ప్రారంభించి, అంటే కుడి నుండి ఎడమకు.

ఉదాహరణకు, దశాంశ 1987ని బైనరీకి మారుద్దాం:

బైనరీ ఆకృతిలో దశాంశ సంఖ్య 1987 11111000011, అనగా. (1987)10 = (11111000011)2

ఏదైనా సిస్టమ్ నుండి దశాంశానికి మారుతున్నప్పుడు, సంఖ్య సంబంధిత గుణకాలతో బేస్ యొక్క శక్తుల మొత్తంగా సూచించబడుతుంది, ఆపై మొత్తం విలువ లెక్కించబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, అష్ట సంఖ్య 123ని దశాంశంగా మారుద్దాం: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, అనగా. (123)8 = (83)10

సంఖ్య యొక్క భిన్న భాగాన్ని ఏదైనా సిస్టమ్ నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయడానికి, ఈ భిన్నం యొక్క వరుస గుణకారం మరియు కొత్త సంఖ్య వ్యవస్థ ఆధారంగా ఉత్పత్తి యొక్క పాక్షిక భాగాలను నిర్వహించడం అవసరం. కొత్త సిస్టమ్‌లోని సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం మొదటి నుండి ప్రారంభించి, ఫలిత ఉత్పత్తుల యొక్క మొత్తం భాగాల రూపంలో ఏర్పడుతుంది. ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో సంఖ్యను లెక్కించే వరకు గుణకార ప్రక్రియ కొనసాగుతుంది.

ఉదాహరణకు, దశాంశ భిన్నం 0.65625ని బైనరీ నంబర్ సిస్టమ్‌గా మారుద్దాం:

ఐదవ ఉత్పత్తి యొక్క పాక్షిక భాగం సున్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, తదుపరి గుణకారం అనవసరం. దీనర్థం ఇచ్చిన దశాంశం లోపం లేకుండా బైనరీకి మార్చబడుతుంది, అనగా. (0.65625)10 = (0.10101)2.

ఆక్టల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నుండి బైనరీకి మరియు వైస్ వెర్సాకి మార్చడం కష్టం కాదు. ఎందుకంటే వాటి స్థావరాలు (d — 8 మరియు d — 16) రెండు (23 = 8 మరియు 24 = 16) యొక్క పూర్ణాంకాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

అష్టాంశ లేదా హెక్సాడెసిమల్ సంఖ్యలను బైనరీకి మార్చడానికి, వాటి ప్రతి సంఖ్యను వరుసగా మూడు లేదా నాలుగు-అంకెల బైనరీ సంఖ్యతో భర్తీ చేస్తే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకు, అష్ట సంఖ్య (571)8 మరియు హెక్సాడెసిమల్ సంఖ్య (179)16ను బైనరీ సంఖ్య వ్యవస్థకు అనువదిద్దాం.

రెండు సందర్భాల్లోనూ మనకు ఒకే ఫలితం వస్తుంది, అనగా. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

బైనరీ-దశాంశం నుండి దశాంశానికి సంఖ్యను మార్చడానికి, మీరు బైనరీ-దశాంశంలో సూచించబడిన సంఖ్య యొక్క ప్రతి టెట్రాడ్‌ను దశాంశంలో సూచించబడే అంకెతో భర్తీ చేయాలి.

ఉదాహరణకు, (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 అనే సంఖ్యను దశాంశ సంజ్ఞామానంలో వ్రాద్దాం, అనగా. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)